\chapter{概率论基础公理化体系}
\author{A. N. 柯尔莫哥洛夫}
\date{1929年}
	
	\section{引言}
	本文旨在建立概率论的严格数学基础，将概率概念从直观经验层面提升至精确的数学理论。传统概率论依赖于"等可能性"等不明确的假设，这种局限性阻碍了理论的进一步发展。我们提出一套基于测度论的公理体系，为概率论提供坚实的数学基础。
	
	\section{基本概念与定义}
	
	\begin{definition}[概率空间]
		概率空间是一个三元组$(\Omega, \mathcal{F}, P)$，其中：
		\begin{itemize}
			\item $\Omega$是非空集合，称为样本空间，表示所有可能结果的集合。
			\item $\mathcal{F}$是$\Omega$上的$\sigma$-代数，即满足：
			\begin{enumerate}
				\item $\Omega \in \mathcal{F}$
				\item 若$A \in \mathcal{F}$，则$A^c \in \mathcal{F}$
				\item 若$A_n \in \mathcal{F}$ ($n=1,2,\ldots$)，则$\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F}$
			\end{enumerate}
			\item $P$是定义在$\mathcal{F}$上的概率测度，满足以下公理：
		\end{itemize}
	\end{definition}
	
	\section{概率公理}
	
	\begin{axiom}[非负性]
		对任意$A \in \mathcal{F}$，有$P(A) \geq 0$。
	\end{axiom}
	
	\begin{axiom}[规范性]
		$P(\Omega) = 1$。
	\end{axiom}
	
	\begin{axiom}[可列可加性]
		对于$\mathcal{F}$中任意可数个互不相交的集合$A_1, A_2, \ldots$，有
		\[ P\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty P(A_n) \]
	\end{axiom}
	
	\section{基本推论}
	
	\begin{theorem}[不可能事件的概率]
		$P(\emptyset) = 0$。
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}
		考虑序列$\Omega, \emptyset, \emptyset, \ldots$。由可列可加性：
		\[ 1 = P(\Omega) = P(\Omega \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \cdots) = P(\Omega) + P(\emptyset) + P(\emptyset) + \cdots \]
		因此$P(\emptyset) = 0$。
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}[有限可加性]
		若$A_1, \ldots, A_n$互不相交，则
		\[ P\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n P(A_k) \]
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}[补集概率]
		对任意$A \in \mathcal{F}$，有$P(A^c) = 1 - P(A)$。
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}[单调性]
		若$A \subseteq B$，则$P(A) \leq P(B)$。
	\end{theorem}
	
	\begin{theorem}[容斥原理]
		对任意$A, B \in \mathcal{F}$，
		\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
	\end{theorem}
	
	\section{条件概率与独立性}
	
	\begin{definition}[条件概率]
		设$P(B) > 0$，事件$A$在给定$B$下的条件概率定义为：
		\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
	\end{definition}
	
	\begin{definition}[独立性]
		两个事件$A$和$B$称为独立的，如果
		\[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \]
	\end{definition}
	
	\section{随机变量}
	
	\begin{definition}[随机变量]
		设$(\Omega, \mathcal{F}, P)$为概率空间，$(\mathbb{R}, \mathcal{B})$为实数集及其Borel $\sigma$-代数。随机变量是一个可测函数$X: \Omega \to \mathbb{R}$，即对任意Borel集$B \in \mathcal{B}$，有$X^{-1}(B) \in \mathcal{F}$。
	\end{definition}
	
	\begin{definition}[分布函数]
		随机变量$X$的分布函数$F_X: \mathbb{R} \to [0,1]$定义为：
		\[ F_X(x) = P(X \leq x) = P(\{\omega \in \Omega: X(\omega) \leq x\}) \]
	\end{definition}
	
	\section{期望与积分}
	
	\begin{definition}[期望]
		随机变量$X$的期望定义为Lebesgue积分：
		\[ E[X] = \int_\Omega X(\omega) dP(\omega) \]
		当积分存在时称$X$是可积的。
	\end{definition}
	
	\section{结论}
	本文建立的公理化体系将概率论置于严格的数学基础之上，消除了早期理论中的模糊性。这一框架不仅统一了离散和连续概率理论，还为概率论的进一步发展提供了坚实基础。测度论的工具使得我们可以处理更复杂的概率问题，为现代概率论的发展开辟了道路。
	